行列式主要有以下几个意义：
1、矩阵是否可逆：一个矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为0，因此可以通过行列式的值来判断一个矩阵是否可逆。
2、方程组的解：通过计算其系数矩阵的行列式，并与常数矩阵的行列式进行比较，可以得到线性方程组是否有唯一解、有无解或者有无穷多解。
3、判断线性变换的性质：一个矩阵代表一个线性变换，其行列式的正负号表示了该变换是否保持了空间的定向性。
4、计算向量的数量积：若两个向量a,b形成的行列式为D，则它们的数量积为|a||b|sinθ，其中θ为两向量夹角。
行列式的应用还可以扩展到更高维的空间，可以用于计算高维空间中向量的数量积、判断高维矩阵的可逆性等等。行列式的重要性质是线性和交换律，这是构建矩阵理论的基础之一，因此行列式是线性代数理论的核心概念之一。
行列式是由一个方阵中的元素所构成的数值，是矩阵线性代数理论的重要概念之一，可以用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆、计算线性变换的系数等问题，因此在很多领域都有重要的应用。
行列式的表现形式主要有两种：代数余子式和拉普拉斯展开式。
1、代数余子式：
代数余子式指将方阵A中除i行j列的元素外，余下的所有元素所组成的行列式称为该元素的代数余子式，记为A(i,j)。它的计算方式为A(i,j) = (-1)^(i+j)×M(i,j)，其中M(i,j)为划去第i行第j列后所剩下的矩阵的行列式。
2、拉普拉斯展开式：
拉普拉斯展开式指根据方阵的行列式展开式，将行和列进行交叉计算，得到最终的行列式值。设A为一个n阶方阵，则它的行列式可以写为如下的表达式：
det(A) = a(1,1)×A(1,1) + a(1,2)×A(1,2) + ... + a(1,n)×A(1,n)，其中，A(1,j)表示A的第1行、第j列所对应的代数余子式。这个表达式被称作A的第1行的拉普拉斯展开式。
同样，A的第j列的拉普拉斯展开式可以表示为det(A) = a(j,1)×A(j,1) + a(j,2)×A(j,2) + ... + a(j,n)×A(j,n)。
行列式的代数余子式和拉普拉斯展开式的一般性质使它们具有广泛的应用价值，可以被用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆、计算线性变换的系数等等问题。