一、首个关键极限:一个公式揭示的智慧
当分子和分母共享一个变量,且分子趋于零时,极限的魔力显现。公式揭示了这样的规律:当 (x-a)趋近于0, (f(x) - L)乘以 (1/(x-a))的极限为 f(a)本身。
例1: 求 lim (x->a) [(f(x) - f(a)) / (x-a)],利用这个公式,我们有:
注意到 x->a 时,f(x) - f(a) 可以凑成 (x-a) * g(x) 形式,抵消后得到 f'(a)。
注: 原趋势的关键在于保证 (x-a) 趋近于 0,替换或直接计算皆可。
二、第二个关键极限:乘幂奇缘
当面对形如 (1 + h)^n 或 (1 + 1/h)^n 的极限问题,两个公式为我们提供了解决之道:若 h 趋近于 0,极限分别为 e^n 和 1。它们的共同点是倒数关系,确保幂次项抵消。
例2: 求 lim (x->0) [(1 + x)^1/x],可以通过 1 + x 变形为 (1 + 1/x),应用右极限公式。
注: 保持 h 或 1/h 的趋势不变,即可顺利求解。
附加:极限的运算神器
掌握极限的指数运算法则,如若 lim (x->a) [f(x)^g(x)] 存在,那么 lim (x->a) [f(x)]^g(x) = [lim (x->a) f(x)]^[lim (x->a) g(x)],这为复杂极限问题提供了简便路径。
导数定义的极限公式:逼近速度的揭示
最后,让我们聚焦导数定义的极限公式:若 f(x) 在 x=a 点连续,那么 f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h,这是理解函数变化率的基石。
例3: 求 f'(a),只需将极限应用于此公式,我们有:
...
通过理解并熟练运用这些关键极限,我们就能在求解高等数学中的极限问题时游刃有余。