线性相关矩阵的特征值和特征向量公式

Question

如题所述

Answer 1

公式：

R（A）＝R（A∧T）

A（α＋β）＝（αβT＋βαT）（α＋β）

＝αβTα＋βαTα＋αβTβ＋βαTβ

＝（1／2）α＋（1／2）β＋（αTα）β＋（βTβ）α

由已知 βTα 是非零矩阵, 所以 r(βTα)>=1。

扩展资料

举例

设α，β，都是n维非零列向量，A＝αβ＾T，证明

（1）A的特征值为0，0，0．．．0，β＾Tα

（2）α是A的属于特征值β＾Tα的特征向量

（3）A相似于对角矩阵β＾Tα不等于0

证明：

（1）由已知条件A＝αβ＾T，得到R（A）＝1，又因为矩阵的迹等于特征值之和，故第一问得。

（2）A＝αβ＾T，两边右乘以α，得到Aα＝αβ＾Tα，β＾Tα是一个数，故上式可以写成Aα＝β＾Tα·α，故第二问得证。

（3）根据A可相似对角化的条件，用反证法即可证出。