三角函数和差化积公式怎么推导的？要详细过程哦~~

Question

如题所述

Answer 1

首先,我们知道sin(a
b)=sina*cosb
cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a
b)
sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a
b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb
sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a
b)
cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a
b设为x,a-b设为y,那么a=(x
y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx
siny=2sin((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x
y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx
cosy=2cos((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x
y)/2)*sin((x-y)/2)

Answer 2

和差化积的口诀：正弦加正弦，正弦在前面；如sinA+SinB=2sin（A+B）/2
·COS(A-B)/2
正弦减正弦，正弦在后面，如sinA-SinB=2COS（A+B）/2
·sin(A-B)/2
余弦加余弦，余弦肩并肩，如COSA+COSB=2COS（A+B）/2
·COS(A-B)/2
余弦减余弦，余弦看不见，如COSA-COSB=-2Sin（A+B）/2
·sin(A-B)/2
最后面个注意负号不要掉了！
积化和差：这个反推就行了
三角公式我原来高中就记了几个公式加口诀，ok，所有的题目ok啦！
希望有所帮助！

Answer 3

正弦、余弦的和差化积
公式
　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式
　　sin
α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　sin
α-sin
β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　cos
α+cos
β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　cos
α-cos
β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
【注意右式前的负号】　
　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
　　法1　sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，
　　sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，
　　将以上两式的左右两边分别相加，得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，
　　设
α+β=θ，α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,
β=(θ-φ)/2
　　把α，β的值代入，即得
　　sin
θ+sin
φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]