22题求过程

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 y''-3y'+2y=e^x 的一个特解，使其在x→0时x的等价无穷小。
解：齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程 r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根 r₁=1; r₂=2；
故其通解为：y=c₁e^x+c₂e^(2x).
设原方程的特解为：y*=axe^x
y*'=ae^x+axe^x=(ax+a)e^x;
y*''=ae^x+(ax+a)e^x=(ax+2a)e^x;
代入原式得：(ax+2a)e^x-3(ax+a)e^x+2axe^x=ae^x=e^x
∴a=1，即特解为：y*=xe^x；通解为：y=c₁e^x+c₂e^(2x)+xe^x;
此特解满足：x→0lim(xe^x)/x=x→0lime^x=1，即在x→0时是x的等价无穷小。