离散数学：为什么只涉及命题变元p和q的复合命题有16种不同的真值表？

Question

如题所述

Answer 1

含有两个命题变项p,q的赋值有2²=4种，每一种赋值对应的命题公式的真值有2个，或1或0，所以能够产生的真值表有2^4=16种。

结论：含有n个命题变项的复合命题有2^(n²)种真值表。

Answer 2

首先来看真值表的构成，n个命题变元构成的复合命题的真值表由n+1列，除表头有2^n行，前n列分别是每个命题变元的真值，最右边的一列是n个命题变元构成的复合命题的真值。n个命题变元的真值排列组合的左侧可以认为是不变的，变化的是对应的代表不同复合命题的最右侧一列的真值。 重点来了，每个真值表的不同点就是最右侧一列的值。代表复合命题真值的一列的不同排列组合构成了不同的真值表，每行(有2^n行)有0，1 两种，即n个命题变元的复合命题有2^(2^n)种(个)不同的真值表，其覆盖了所构成的所有复合命题的真值。（真值表相同的复合命题完全等价）

Answer 3

应该只有2^2=4种不同的真值表。

Answer 4

设存在一个命题公式A，A的真值只由p和q决定。
因为p和q的赋值情况有四种，（0，0），（（0，1），（1，0），（1，1），所以在任意一种赋值情况下，A的真值存在四种情况，而每种情况A的真值为1或0。因此A一共有2的4次方种真值表。
可以借助二进制理解。二进制数从0000到1111等价于十进制数从0到15，共有16种情况。

Answer 5

我一直不理解这个问题是因为对题目的理解错误, 把"多少种不同的真值表", 理解成了"多少种真值的组合". 对于第二个问题来说, 含有两个命题变量的p, q的赋值有2 ^ 2 = 4种, 每种赋值对应1或0两种真值, 于是应该有8种真值的组合.
但是对于第一个问题, 有多少种不同的真值表.
首先, 每种真值表都有四行. 如下:
p q 命题
T T 待定
T F 待定
F T 待定
F F 待定
在待定的部分需要填入T/F 代表命题对应不同的命题变量组合的结果.
对于p和q都是T的情况, 命题可以试T 也可以是 F, 所以 真值表出现了两种对应的分支.
对于这两种对应的分支, 第二行 T F, 又对应了两种不同的分支. 所以真值表有2 * 2 = 4种情况.
每添加一行, 则在原本的分支上, 出现更多的分差. 即 * 2.
所以对于有2种命题变量的情况, 共有2 ^ 2 = 4种赋值组合(即4行), 对于有4行的真值表, 会有2 * 4 = 16种真值表组合.
对于有n种命题变量的情况, 共有2 ^ n种赋值组合, 有2 ^ (2 ^n)种真值表组合.