数学竞赛题

Question

1.满足(x-3)^2+(y-3)^2=6的所有实数时(x,y) 求y/x的最大值。

2.首次系数不等的两个二次方程
(a-1)x^2-(a^2+2)x+(a^2+2a)=0 ①
(b-1)x^2-(b^2+2)x+(b^2+2b)=0 ①
（a,b是自然数)有一个公共根，求(a的b次方+b的a次方)/(a的-b次方+b的-a次方)的值。

3.是否存在实数k，使关于x的方程9x^2-(4k-7)x-6k^2=0的两个实根x1,x2 满足x1/x2的绝对值=3/2？如果存在，求出所有满足条件K的值，不存在请说明理由！

希望有高手来帮忙解出来，想了很久依然还是不知如何解。

非常感谢！
希望过程一定要详细点，尤其是第一题，知道是一个圆的方程，但是斜率如何求？

Answer 1

1.满足(x-3)^2+(y-3)^2=6的所有实数时(x,y) 求y/x的最大值。
(1).首先你要知道这是一个圆方程，圆方程表示平面上到定点距离等于定常数的点的集合，然后要知道直线y=kx，其中k表示斜率，这道题目就是直线和圆相交求斜率最大值，圆的切线斜率最大，切线有一个特点，那就是圆心到切线的距离等于半径，点(x0,y0)到Ax+By+C=0的距离是|Ax0+By0+C|/sqrt(A^2+B^2)
所以y-kx=0,|3-3k|/sqrt(1+k^2)=sqrt(6),k^2-6k+1=0,k=3-2sqrt(2)或k=3+2sqrt(2),这是因为圆的切线有两条，所以最大为3+2sqrt(2)
(2).你现在应该还是初中，所以对圆方程不了解，但是有一个很重要的思想，你现在应该可以理解，就是把两元化成一元，令y=kx，然后代入方程，然后算△≥0，就可以了。初中△是很有用的。

2.首次系数不等的两个二次方程
(a-1)x^2-(a^2+2)x+(a^2+2a)=0 ①
(b-1)x^2-(b^2+2)x+(b^2+2b)=0 ②
（a,b是自然数)有一个公共根，求(a的b次方+b的a次方)/(a的-b次方+b的-a次方)的值。
(1)这种方法不是我想到的：把根求出来，可以用十子交叉
①中得到 x1=a,x2=(a+2)/(a-1),②中得到x3=b,x4=(b+2)/a-1
由于a≠b 所以一定是(a+2)/(a-1)=b=1+3/(a-1)，因为a,b都是自然数，所以a=2或4，同时b=2或4。
(a的b次方+b的a次方)/(a的-b次方+b的-a次方)=256
(2)这是我自己做的，我没有想到这个方程可以因式分解，所以我先令等根为y
(a-1)y^2-(a^2+2)y+(a^2+2a)=0 ①
(b-1)y^2-(b^2+2)y+(b^2+2b)=0 ②
①-② (a-b)y^2-(a-b)(a+b)+(a-b)(a+b+2)=0
y^2-(a+b)y+a+b+2=0
做到这里似乎没了路，但我注意到
①可以化成(x-1)a^2-(x^2+2)a+(x^2+2x)=0
②可以化成(x-1)b^2-(x^2+2)b+(x^2+2x)=0
所以a,b是方程(x-1)y^2-(x^2+2)y+(x^2+2x)=0的两根，而且也隐约感觉y是一个自然数
在这里我们可以得到a*b=(x^2+2x)/(x-1)=(x^2+2)/(x-1)+2=a+b+2
所以y^2-(a+b)y+a+b+2=y^2-(a+b)y+ab=0,这证明我的观点是正确的,y是一个整数，整数就好办了,a+b=(x^2+2)/(x-1)=x+1+3/x-1
可以得x=2或4，同样可以得到答案
我的这种思路比较麻烦，技不如人。

3.是否存在实数k，使关于x的方程9x^2-(4k-7)x-6k^2=0的两个实根x1,x2 满足x1/x2的绝对值=3/2？如果存在，求出所有满足条件K的值，不存在请说明理由！
x1*x2=-6k^2/9<0,两根异号
令x1=(-b+sqrt(△))/2a，x2=(-b-sqrt(△))/2a
x1/x2=(-b+sqrt(△))/2a/(-b+sqrt(△))/2a=-b+sqrt(△)/-b-sqrt(△)=-3/2
得-sqrt(△)=5b，其实你x2/x1=-3/2，可以得到sqrt(△)=5b，平方以后结果是一样的。b^2-4ac=25b^2,-6b^2=ac,化到这里代入简单一点。k=1或7
△是不用检验的，因为此时-6b^2=ac，△=25b^2>0

做x1/x2时，我的体会是，不可能用韦达定理，因为在这个时候，x1,x2地位已经不等价了，我习惯用求根公式，先把带有a,b,c的求根公式代入运算，化到最简，然后再求参数，如果一定要用韦达定理那么必须配上对偶式x1/x2+x2/x1=-13/6,但这样一来计算反而不简便了。这种题对于初中水平是难了些。

Answer 2

1.设y=kx,由直线与圆相切√6=|3k-3|/√(k^2+1)
解得k=3±2√2
所以y/x最大值为3+2√2
2.由方程①解得x1=a,x2=(a+2)/(a-1),由a,b互易,二方程有公共根.所以a=(b+2)/(b-1)(由于待求式是关于a,b对称的,所以只写这一式)
a=1+3/(b-1),因a为正整数,所以b-1为3的因数,所以b-1=1或3
从而a=4,b=2或a=2,b=4
带入a,b得到待求式为256
3.首先由x1*x2=-6k^2/9≤0知两根异号,所以|x1/x2|=-x1/x2=3/2
由原方程解出x1,x2,带入上式解得k=1或7
将此二值代入原方程Δ=232k^2-56k+49,得到Δ=225,11025均大于0
所以k=1或7

我不知你是不是想参加竞赛,如果你想参加竞赛的话,我劝你最好还是放弃.从你的提问来看,你的基础很不好(相对竞赛的要求而言),上面几道题可以算的上是竞赛中的基础题.你明年高考吧,你最好还是放弃竞赛,把自己的基础打牢,以便应付明年的高考.
以上纯属建议,你听得进去就采纳;听不进去就当我没说.本回答被网友采纳

Answer 3

N等于222倍括号a加b加c减去三位数
abc,根据三位数abc介于100到999之间可得到a加b加c的范围,对于2630可得到范围是13到15,依次将之间整数代入最开始的式子,可得到abc等256,478,700而满足对应得三个数字和的只有256三个数字和为13,即位256。
等你学了数论之后,不难知道为什么解是唯一的

Answer 4

1.首先在坐标轴上完成这道题：
y/x=y-0/x-0,是圆上的点与原点连线的斜率,应该是圆的两条切线，求出最大的一条即可

Answer 5

原理（a-1)x^2-(a^2+2)x+(a^2+2a)=0 ①
（a-1)x=0
2-(a^2+2)x=0
a^2+2a=0