在求解一阶齐次微分方程 Dy/dx P(x)y=Q(x) 时，我们先从基础入手。当遇到 Q(x)=0 的特殊情况，我们可以轻松地导出基本形式。令 y=ce^(-P(x))dx，这里的 c 是任意常数，这就是解的基本结构。进一步，我们可以将这个形式替换到原方程中，解出隐含的变量 u，从而得出具有一般形式的通解。
对于更具挑战性的齐次方程，如 Dy/dx = (y/x)，我们引入辅助变量 u=y/x，通过代换将原问题转化为一个更便于处理的形式。将 y 用 u 替换，得到 dy/dx = u * du/dx = u。这时，问题转化为求解 du/(u^2-u)=dx/x。巧妙地分离变量后，我们通过积分，最终揭示出通解的完整表达。
通过这些步骤，我们不仅掌握了求解一阶齐次微分方程的基本技巧，也更深入地理解了通解背后的数学逻辑。希望这些解析能够为你的学习之路提供有力支持，助你解开微分方程的神秘面纱。