如果积分限是-∞到∞,∫e^(-x^2)dx =√π 。
若积分限0到∞,根据偶函数的性质可知,∫e^(-x^2)dx =√π/2。
不定积分的公式:
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
如果积分限是-∞到∞,∫e^(-x^2)dx =√π 。
若积分限0到∞,根据偶函数的性质可知,∫e^(-x^2)dx =√π/2。
扩展资料:
除了黎曼积分和勒贝格积分以外,还有若干不同的积分定义,适用于不同种类的函数。
达布积分:等价于黎曼积分的一种定义,比黎曼积分更加简单,可用来帮助定义黎曼积分。
黎曼-斯蒂尔杰斯积分:黎曼积分的推广,用一般的函数g(x)代替x作为积分变量,也就是将黎曼和中的 推广为 。
勒贝格-斯蒂尔杰斯积分:勒贝格积分的推广,推广方式类似于黎曼-斯蒂尔杰斯积分,用有界变差函数g代替测度 。
哈尔积分:由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入,用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分,参见哈尔测度。
伊藤积分:由伊藤清于二十世纪五十年代引入,用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。
参考资料:
解题过程如下:
原式=∫e^(-x^2)dx
=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=∫∫e^(-r^2) rdrdα
=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)
=π*∫e^(-r^2) dr^2
=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝
=π
∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)
=(∫e^(-x^2)dx)^2
∴∫e^(-x^2)dx=√π
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。
对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分。
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