一、弹性力学平面问题的基本方程
真实的弹性体都是空间物体，但当其形状和受力情况具有某些特点时，在数学上可按平面问题处理。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两种平面问题的基本未知量、平衡微分方程、几何方程是相同的。
1.平衡微分方程
如不计体力，弹性力学平面问题的平衡微分方程如式（2-1）所示：
岩石断裂与损伤
式中：σx、σy、τxy分别为正应力和切应力分量。
2.几何方程
设平面内一点在x、y方向的位移分量为u、v；应变分量为εx、εy、γxy。则应变与位移的关系即几何方程，如式（2-2）所示：
岩石断裂与损伤
3.物理方程（本构方程）
平面应力问题和平面应变问题的物理方程（或称为本构方程）不同，对于平面应力问题，在弹性范围内，应力与应变关系如式（2-3）所示：
岩石断裂与损伤
式中：E为材料的弹性模量；μ为泊松比；G为剪切弹性模量。对于平面应变问题，应将上式中的E、μ进行如下代换：
岩石断裂与损伤
为求解上述方程，可采用位移法或应力法。将应力作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为应力法。
二、Airy应力函数法
众多学者研究过弹性力学问题的解。1863年，Airy给出一种解为
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将式（24）代入式（21），不难验证它满足平衡微分方程。式（24）中ψ（x，y）称为Airy应力函数。为使应力函数ψ（x，y）满足其他方程，ψ（x，y）还必须满足变形协调条件：
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即ψ（x，y）为双调和函数，如果找到应力函数，通过应力边界条件确定应力分量中的待定常数，然后由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量。
三、Westergaard应力函数法
1939年，H.M.Westergaard在《Bearing pressures and cracks》中提出下列复变应力函数：
岩石断裂与损伤
式中：分别是解析函数Z=Z（z）的一次积分和二次积分，即
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显然，也是解析函数。式中：z=x+iy，其中x、y都是实变数，表示单元体的位置坐标。为了以后应用的方便，下面简要介绍一下有关复变函数的一些性质。
如z=x+iy是一个复变数，则Z（z）=ReZ（z）+iImZ（z）为复变函数。若Z（z）为解析函数，即复变函数Z（z）在某区域上处处可导。则必须满足柯西-黎曼条件（Cauchy-Riemann）：
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可以证明：
（1）如Z（z）为解析函数，则：▽2ReZ=0，▽2ImZ=0。
即：任何复变解析函数及其实部与虚部都满足调和方程，它们都是调和函数。
（2）Z（z）可导，则有
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（3）如Z（z）为解析函数，则
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根据复变函数的性质，可以证明式（2 6）所示的ψ是否可以作为应力函数，即证明ψ是否满足双调和方程：
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因为Z为调和函数，故
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因为Z为调和函数，
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故ψ可作为应力函数。相应的应力分量为
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将式（2-7）代入式（2-3）得
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故
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同理可得y方向的位移分量v。位移分量u、v为
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