1+2+3+4+5+···+∞=-1/12，即一加二加三一直加到无穷大等于负十二分之一

Question

1+2+3+4+5+···+∞=-1/12，即一加二加三一直加到无穷大等于负十二分之一我见过这个公式极其证明，但老师说这是错的，他否认了伟大的欧拉恒等式。期望有人把证明给我发一下，拿去给老师对质

Answer 1

首先，根据泰勒级数展开我们知道：
1/(1-x) = 1-x+(x^2)-(x^3)+(x^4)... ;（1）; “...”表示一直到无穷
对（1）求导得：
-1/((1+x)^2)=-1+2x-3(x^2)+4(x^3)... 将等式两边同乘-1 得：
1/((1+x)^2)=1-2x+3(x^2)-4(x^3)... ;（2）
将x=1带入等式（2）得到：
1-2+3-4+5-6... =1/4 ; (3)
现令S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... 可以发现 所求和 1+2+3+4+... = S(1)
S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... ; (4)
(2*(2^x))*S(x)=2*((2^x)+(4^x)+(6^x)+...) ; (5)
(4)-(5) 得：
（1-2*(2^x))*S(x)=(1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)...
在（1-2*(2^x))不等于0的情况下 (即 x不等于 -1)
S(x)=((1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)...)/(1-2*(2^x))
令 x=1 则：
S(1)=(1-2+3-4+5-6...)/(1-4) ; (6)
将(3)带入(6)得到：
S(1)=(1/4)/(-3)=-1/12 ; (7)
即 1+2+3+4+... = -1/12
一般来说有限个正数的和不会是负数，但是当求和的数列是无穷个数的时候，就不能用想当然去理解了。无穷大有很多有趣的性质，您可以找找相关资料，相信您一定会感兴趣的。

Answer 2

证明：1+2+3+4+5+6+…=-1/12
假设S1=1-1+1-1+1-1…
S2=1-2+3-4+5-6…
S=​1+2+3+4+5+6+…
首先对于式S1，当无穷停在奇数位时，结果是1，
停在偶数位​时，结果是0，因此取两者平均值1/2。
即S1=1/2
​S2=1-2+3-4+5-6…
S2=0+1-2+3-4+5-6…​
S2与本身错位相加，可得​
2S2=​1-1+1-1+1-1…=S1=1/2
则S2=1/4
S-S2=​1+2+3+4+5+6+…
-​(1-2+3-4+5-6…)
​=4+8+12+…
=4(1+2+3+…)​
则S-S2=4S
则S=-1/3S2=-1/12
即​1+2+3+4+5+6+…=-1/12

Answer 3

你老师是对的，首先，正整数加正整数永远是正整数，再有这个式子没那么复杂，你把他化简就好了，化为10N倍1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，也就是55加10N，结果永远是正整数55,155,255,355,455,555

Answer 4

这个证明是错的，支撑这个等式的《弦理论》已经被推翻。其次，数学在大学上会讲到，不收敛数列不能进行错位相减，也说明了这个等式是错误的

Answer 5

在数学里面是错的，因为在数学里面无限个式子不能直接相加，但在物理里是对的，并且还有应用