关于柯西中值定理的问题

Question

柯西中值定理有个条件是g（x）的导数不为0.

怎么理解？
是g（x）的导数不恒为0吗？
还是不能存在一个x使得g（x）的导数为0？

Answer 1

柯西中值定理考察的两个函数在任意连续区间的关系。

为了保证任意性成立，所以这里强调某一个函数的导数均不为0 . 见条件（3）

如果函数f(x)及F(x)满足：
(1)在闭区间【a，b】上连续；
(2)在开区间(a，b)内可导；
(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式
【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。追问

 è®¾å‡½æ•°f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明:存在 Î¾âˆˆ(a,b)使得2ξ [f(a)-f(b)]=(b2-a2)f'(ξ)

这道题，怎么解决   g（x）的导数在x=0时也为0     的问题？

追答

柯西定理中要求F'(x)≠0，只是对定义域内的结果要求满足。

你这里直接使用了柯西定理，恰恰是忽略了定理的条件3
题目意思只是问及存在点 ξ∈(a,b) 满足2ξ [f(a)-f(b)]=(b2-a2)f'(ξ)成立。
这里并没有说到要任意的ξ∈(a,b)满足条件。

所以要求在构造函数 g(x)=x²çš„时候 要避开x=0点 以保证 g(x)对任意 x∈(a，b)，满足g'(x)≠0

否则不满足柯西定理条件，不能使用定理