直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：
显然,任意2阶上三角矩阵的伴随矩阵为上三角矩阵；
设任意n阶上三角矩阵的伴随矩阵为上三角矩阵,则对于n+1阶上三角矩阵A,
证明其伴随矩阵A伴随为上三角矩阵.
拓展资料
直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：
1、把一个n阶上三角矩阵A分块成，A11 A12 0 A22，其中A11是1阶的,A22是n-1阶的，然后解方程AX=I,其中X也分块，X11 X12 X21 X22；
2、把X解出来得X11=A11^{-1},X21=0,X22=A22^{-1},X12可以不用管，然后对A22用归纳假设。
拓展资料
三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。
三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。
参考资料来源：百度百科：三角矩阵
要求A的逆，只要解方程AX=I就行了。
直接把AX=I展开出来看一下就知道如果A是上三角阵那么X必定也是上三角阵（简单一点可以用归纳法）。
直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：
扩展资料：
三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。
以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。
①上三角矩阵
如图所示，它的主对角线以下(不包括主对角线)的元素均为常数0。
②下三角矩阵
与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0。
由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。
两种证法
方法1：
若T是上三角矩阵，求解线性方程组TS=I，从右下角开始向前求解，可以按分块形式来写
S(n,n)=1/T(n,n)
S(n,1:n-1)=0
S(1:n-1,n)=-T(1:n-1,1:n-1)^{-1}T(1:n-1,n)S(n,n) ——这块不重要
S(1:n-1,1:n-1)=T(1:n-1,1:n-1)^{-1} ——这个地方用归纳法
归纳一下即可。
方法2：
利用ST=TS=I，忽略等于I的条件，直接可以证明和T可交换的矩阵必定是上三角阵。利用线性性只需要考察i>j时T和E_{i,j}(表示i行j列为1，其余位置为0的矩阵)不可交换。
设A是一个三角矩阵,
则AA^T=B,由三角阵的定义得,
B是一个对称可逆矩阵,
所以B=B^T,有(B^-1)^T=(B^T)^-1=B^-1
得到B^-1也是对称阵,
所以(AA^T)^-1=B^-1=(A^T)^-1A^-1=(A^-1)^TA^-1
即至少存在一个三角阵A^-1有(A^-1)^TA^-1为一对称阵
且A^-1有且只有一个
所以可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵
拓展资料：
1、主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。
2、矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
参考资料：百度百科：上三角矩阵
本回答被网友采纳这个问题挺复杂的，证明过程：
1、把一个n阶上三角矩阵A分块成：
A11 A12
0 A22
2、其中A11是1阶的,A22是n-1阶的，然后解方程AX=I,其中X也分块；
X11 X12
X21 X22
3、把X解出来得到X11=A11^{-1},X21=0,X22=A22^{-1},X12可以不用管
然后对A22用归纳假设。
拓展资料：
主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。
参考资料：上三角矩阵百度百科
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