向量模的取值范围

Question

以下向量x 简称 x
|a|=1 |b|=1 |c|=√2
求|a+b-c|的取值范围

本人比较愚昧 做不来这类问题 大侠指教 谢谢诶了

Answer 1

最大显然应该是 向量a、b和-c共线且同向，此时|a+b-c|=|a|+|b|+|c|=1+1+√2=2+√2

最小值在向量a+b-c=0时取得，因为a、b、-c任两个向量的模的和都大于第三个向量的模，所以a、b、-c可以构成一个三角形，此时|a+b-c|=0
所以 0≤|a+b-c|≤2+√2

从|a+b-c|本身也可得|a+b-c|≥0
|a+b-c|≤|a|+|b|+|c|=1+1+√2=2+√2

此题的关键在于看最大值和最小值是否能取得。

例如，若该题改为|c|=3，则最大值仍然是|a|+|b|+|c|=5.
但由于构不成三角形，故无法|a+b-c|无法取得0值，最小为a、b、c共线，而a、b、-c同向，此时最小值为3-1-1=1.

Answer 2

ab*ac＝|ab|×|ac|×cosθ，θ为向量ab与ac之间的夹角，所以|ab*ac|≤|ab|×|ac|＝6×9＝54
|ab-ac|^2＝(ab-ac)*(ab-ac)＝|ab|^2＋|ac|^2－2(ab*ac)＝36＋81－2(ab*ac)
所以，|ab-ac|^2≤36＋81＋2×54＝225，所以|ab|-ac|≤15，等号成立的条件是向量ab与ac方向相反。|ab-ac|^2≥36＋81－2×54＝9，所以|ab|-ac|≥3，等号成立的条件是向量ab与ac方向相同

所以，3≤|ab-ac|≤15