已知多边形的各条边长,求多边形面积计算公式

Question

如题所述

Answer 1

正多边形的面积计算公式与边长无关，关键在于知道正多边形的边数N和半径R。对于正多边形，其内角和为180(N-2)度。圆的内接三角形面积公式为(3√3)/4 * R²，而外切三角形的面积公式为3√3 * R²。对于外切正方形，面积为4R²，内接正方形则为2R²。对于五边形以上的多边形，可以分割成等边三角形来计算，使用内角和公式(n-2)×180°。
我们知道，对于三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)的三角形面积公式为：
S(A,B,C) = |x1x2x3|/2 * |y1y2y3| = |(x1-x3)(y2-y3) - (x2-x3)(y1-y3)|/2
当三点为逆时针时结果为正，顺时针则为负。
对于多边形A1A2A3、、、An（顺或逆时针都可以），设平面上有任意的一点P，则面积可以表示为：
S(A1,A2,A3，，、、,An) = |S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3) + 、、、 + S(P,An,A1)|
当P点取(0,0)时，面积公式简化为：
设点顺序(x1y1)(x2y2)...(xnyn)，则面积等于
|x1y1||x2y2||xnyn|0.5 * abs(||+||+......+||) = 0.5 * abs(x1y2-y1x2+x2y3-y2x3+...+xn y1-y1xn)
因此，面积公式展开后为：
|x1y1||x2y2||xnyn|0.5 * abs(||+||+......+||) = 0.5 * abs(x1y2-y1x2+x2y3-y2x3+...+xn y1-y1xn)|x2y2||x3y3||x1y1|