数列的通项公式？

Question

如题所述

Answer 1

1：
根据数列的定义，$S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和，则有：
\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\ &= \sum_{i=1}^n a_i \end{aligned}Sn=a1+a2+⋯+an=i=1∑nai
题目中已知 $S_n = n^2 + 2n$，代入上式得到：
\sum_{i=1}^n a_i = n^2 + 2ni=1∑nai=n2+2n
根据求和公式，$\sum_{i=1}^n a_i = n \cdot a_n - (n-1) \cdot a_1$，代入上式得到：
n \cdot a_n - (n-1) \cdot a_1 = n^2 + 2nn⋅an−(n−1)⋅a1=n2+2n
移项得：
a_n = \frac{(n^2+2n) + (n-1) \cdot a_1}{n}an=n(n2+2n)+(n−1)⋅a1
由于要求数列的通项公式，需要确定 $a_1$ 的值。我们可以利用 $S_1$ 求解，即 $S_1 = a_1$。代入题目中给出的 $S_n$ 的表达式，得：
S_1 = a_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3S1=a1=12+2⋅1=3
将 $a_1$ 代入上式，即可得到数列的通项公式：
a_n = \frac{(n^2+2n) + (n-1) \cdot 3}{n} = n+3an=n(n2+2n)+(n−1)⋅3=n+3
因此，数列的通项公式为 $a_n = n+3$。
2.
首先，我们需要计算数列 {an} 的通项公式，这里我们可以使用与上题类似的方法：
a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 + 2n - (n-1)^2 - 2(n-1) = 2n - 1an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n−1
接下来，我们计算 $S_n/n$ 的通项公式：
\begin{aligned} \frac{S_n}{n} &= \frac{1}{n} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \\ &= \frac{1}{n} [(2 \cdot 1 - 1) + (2 \cdot 2 - 1) + \cdots + (2n - 1)] \\ &= \frac{1}{n} (1 + 3 + \cdots + (2n - 1)) \\ &= \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2] \\ &= n \end{aligned}nSn=n1(a1+a2+⋯+an)=n1[(2⋅1−1)+(2⋅2−1)+⋯+(2n−1)]=n1(1+3+⋯+(2n−1))=n1⋅2n⋅[2⋅1+(n−1)⋅2]=n
因此，$S_n/n=n$，即 ${S_n/n}$ 是以 $n$ 为公差的等差数列。
证毕。