向量空间是线性空间么？

Question

如题所述

Answer 1

判断向量集合是否为向量空间：看集合内任意的向量进行线性变换｛加法与数乘｝都能得出本集合的向量，那么这个集合就是向量空间。

V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0}是向量空间。

但V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}不是，因为它对加法运算和数乘运算不封闭，即V1中任意两个元素的和不在V1中，V1中任意元素乘以常数k不在V1中(k不等于1)。

向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。