这一步积分怎么计算呀？

Question

如题所述

Answer 1

解:原式=2πa^3∫(0,2π) (t-sint)(1-cost)^2 dt

令t=π+x，(0,2π)---->(-π,π)，dt=dx

∫(0,2π) (t-sint)(1-cost)^2dt

=∫(-π,π) (x+π+sinx)(1+cosx)^2 dx

(x+sinx)是奇函数，(1+cosx)^2是偶函数，故(x+sinx)(1+cosx)^2是奇函数，且积分上下限是(-π,π)关于原点对称，所以，

∫(-π,π) (x+sinx)(1+cosx)^2 dx=0

原式=2πa^3∫(-π,π) π(1+cosx)^2 dx

=4π^2*a^3 ∫(0,π) (1+cosx)^2 dx

=4π^2*a^3 ∫(0,π) [1+2cosx+(cosx)^2] dx

=4π^2*a^3 ∫(0,π) d[x+2sinx+(1/2)(x+sin2x/2)]

=6π^3*a^3

Answer 2

原式=2a³π∫<0,2π>(t-sint)(1-cost)²dt
=2a³π[∫<0,2π>t(1-cost)²dt-∫<0,2π>sint(1-cost)²dt]
=2a³π[∫<0,2π>(t-2tcost+tcos²t)dt-∫<0,2π>(1-cost)²d(1-cost)]
【下面为使书写简练，运算过程中，积分限都省略不写，最后算值时才写出。】
=2a³π[(∫tdt-2∫td(sint)+(1/2)∫t(1+cos2t)dt-(1/3)(1-cost)³]
=2a³π[(1/2)t²-2(tsint-∫sintdt)+(1/2)(∫tdt+∫tcos2tdt)-(1/3)(1-cost)³]
=2a³π{(1/2)t²-2(tsint+cost)+(1/2)[(1/2)t²+(1/2)∫cos2td(2t)]-(1/3)(1-cost)³}
=2a³π{(1/2)t²-2(tsint+cost)+(1/2)[(1/2)t²+(1/2)sin2t]-(1/3)(1-cost)³}<0,2π>
=2a³π{2π²-0+π²+0-0=6a³π³ ;