超难题：高二立体几何问题

Question

平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2 AA'=2 AD=1且 AB，AD ，AA' 的夹角都是60° 则向量AC'乘以向量BD' =___________

题目就是这样的，没有图
不是 -1 答案是 3
这是我们期末考试题 填空题的最后一道，很难的

Answer 1

向量两个字我就不打了，比如向量AB就直接写成AB了。
因为ABCD是平行四边形，所以 AC=AB+AD.
AC'=AC+CC'=AD+AB+AA',同理，BD'=BD+DD'=BA+BC+DD'=-AB+AD+AA'
所以 AC'*BD'
=(AD+AB+AA')(-AB+AD+AA') (展开）
= -AD*AB+AD^2+AD*AA'-AB^2+AB*AD+AB*AA'-AA'*AB+AA'*AD+AA'^2
利用AB，AD ，AA' 的夹角都是60°可知 AD*AB=|AD||AB|*cosDAB=1，
类似地可以得到 AD*AA'=1,AA'*AB=2,带到上面式子里就求得
AC'*BD'
=-AD*AB+AD^2+AD*AA'-AB^2+AB*AD+AB*AA'-AA'*AB+AA'*AD+AA'^2
=-1+1+1-4+1+2-2+1+4=3

Answer 2

把向量按以下分解：
(AC')=[(AA')+(AB)+(AD)]
(BD')=[(AA')+(AD)-(AB)]然后把它们相乘，展开求值就是啦。
注：(字母)表示向量。

Answer 3

-1