定积分问题

Question

如何证明1/(1+sinx)从-pi/4到pi/4的积分等于secx的平方从0到pi/4的两倍
告诉我思路就好
漏了，是从0到pi/4的积分

Answer 1

利用三角变换
1/(1+sinx)
=（1-sinx)/[(1+sinx)(1-sinx)]
=（1-sinx)/(cosx)^2
=(secx)^2 - sinx/(cosx)^2
前一部分是偶函数，后一部分是奇函数
再分别利用偶函数和奇函数在对称区间-pi/4到pi/4上积分的性质，就可以得到
原积分=(secx)^2 从0到pi/4的积分的两倍。

Answer 2

分母中凡是含有三角函数的首推用第二类换元法中的万能代换（三角公式中的万能公式）