已知数列 中， ，前 和 （Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）设数列

Question

已知数列 中， ，前 和 （Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值，若不存在，试说明理由.

Answer 1

已知数列 中， ，前 和 （Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式； （Ⅲ）设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值，若不存在，试说明理由.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）存在， ．

试题分析：（Ⅰ）对条件式进行变形，得到递推关系 得证；（Ⅱ）由条件求出首项和公差即得；（Ⅲ）利用裂项相消法求出 ，再考察 的上确界，可得 的最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以 ， 所以 ， 整理，得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以，数列 为等差数列。 （Ⅱ） ， ，所以 ， 即为公差， 所以 ； （Ⅲ）因为 ， 所以 ， 所以对 时， ，且当 时， ，所以要使 对一切正整数 都成立，只要 ，所以存在实数 使得 对一切正整数 都成立， 的最小值为 .