如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点. （1）设

Question

如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点. （1）设 ，证明： ；（2）设直线AB的方程是 ，过 、 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

Answer 1

（1）详见解析.（2） .

试题分析：（1）将直线与抛物线的方程联立，消去y，得到二次方程 ，应用设而不求，整体代换思想，证明 ，进而证明 ；（2）将直线与抛物线的方程联立，解出 两点的坐标，求出抛物线在点 处的切线斜率，则圆心与点 连线的斜率为切线斜率的负倒数，得到方程①，再将 两点的坐标代入到圆的方程中，得到方程②，解方程得到圆心坐标及半径，解出圆的方程. 试题解析： (1) 由题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得              ① 设 、 两点的坐标分别是 ，则 是方程①的两根，所以 由 得 ，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为 ，从而 所以 (2) 由 得 的坐标分别为 抛物线 在点A处切线的斜率为3. 设圆C的方程是 ，则 解之得 故，圆C的方程是