十字相乘

Question

十字相乘的方法是什么

Answer 1

　　十字相乘 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是十字相乘法。
　　1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
　　2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
　　3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
　　4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。
　　5、十字相乘法解题实例：
　　1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目
　　例1把m²+4m-12分解因式
　　分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
　　解：因为 1 -2
　　1 ╳ 6
　　所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
　　例2把5²+6x-8分解因式
　　分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
　　解： 因为 1 2
　　5 ╳ -4
　　所以5²+6x-8=（x+2）（5x-4）
　　例3解方程x²-8x+15=0
　　分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
　　解： 因为 1 -3
　　1 ╳ -5
　　所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
　　所以x1=3 x2=5
　　例4、解方程 6²-5x-25=0
　　分析：把6²5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
　　解： 因为 2 -5
　　3 ╳ 5
　　所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
　　所以 x1=5/2 x2=-5/3
　　2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
　　例5把14²-67xy+18y²分解因式
　　分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
　　解: 因为 2 -9y
　　7 ╳ -2y
　　所以 14x²-67xy+18y²= (2x-2y)(7x-9y)
　　例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
　　分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
　　解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
　　=10x²-（27y+1）x -（28y²;-25y+3）
　　4y -3
　　7y ╳ -1
　　=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
　　=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
　　5 ╳ 4y - 3
　　=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
　　说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y+3）]
　　解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
　　=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
　　=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y
　　=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
　　5 x - 4y ╳ -3
　　说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
　　例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
　　分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
　　解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
　　x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
　　x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
　　2 ╳ +b
　　[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
　　1 ╳ -（a-b）
　　所以 x1=2a+b x2=a-b
　　注意
　　1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
　　(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：
　　a1 c1
　　在式子 � 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的
　　a2 c2
　　两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.
　　(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.
　　(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.
　　2.形如x+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.
　　3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.

Answer 2

看下面的例题吧
例1
把2x²－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1
1
?╳
2
3
1×3+2×1
=5
1
3
?╳
2
1
1×1+2×3
=7
1
－1
?
╳
2
－3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1
－3
?╳
2
－1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解
2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1
c1
?
╳
a2
c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.
例2
把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2
1
?
╳
3
－5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解
6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1
－3
?╳
1
5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3
把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1
2
?╳
5
－4
1×(－4)+5×2=6
解
5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解
(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)
2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1
－2
?╳
2
1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

Answer 3

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

Answer 4

米字