函数u=x^2y^3z^4在p(1,1,1)处的哪个方向的方向导数最大,并求出！

Question

如题所述

Answer 1

上述推导也表明了：可微函数沿着梯度方向的方向导数最大，其值为梯度的模长。

Answer 2

f=x^2+2y^2+3z^2+xy+3x-2y-6z,f'=2x+y+3,f'=4y+x-2,f'=6z-6.gradf(x,y,z)=if'+jf'+lf'=i(2x+y+3)+j(x+4y-2)+k(6z-6)gradf(0,0,0)=3i-2j-6k={3,-2,-6},gradf(1,1,1)=6i+3j+0k={6,3,0}.f在点A(1,1,1)=的方向导数∂f/∂l=6cosα+3cosβ+0cosγ=6cosα+3cosβ梯度的方向就是取得最大方向导数的方向，此时cosα=6/√(6^2+3^2)=2/√5,cosβ=3/√(6^2+3^2)=1/√5,cosγ=0方向导数的最大值是6cosα+3cosβ=3√5，事实上，最大值就是梯度的模。