对于工程技术中常见问题的研究总是基于时间尺度与空间尺度两个方面，而水文地质研究中所遇到的问题也更是集中于对水文地质条件和地下水运动规律的时空变化规律的研究。前面所讨论的随机过程是基于时间参量 t 对随机问题的研究，而随机场是随机过程概念在空间域（场域）上的自然推广。所不同的是，对于随机过程，基本参数是时间变量 t，对于随机场，基本参数是空间变量 S={x，y，z}。因此，可以把随机场视为定义在一个场域参数集上的随机变量系，在此参数集上的每一点 Si处都对应于一个随机变量。在理论上，随机场的参数集可以同时包括时间变量和空间变量，但在实际应用中，大多都只考虑以空间变量为基本参数的随机场，并记为{X（S）；S∈D⊂Rn}，这里 D 为X（S）的定义域（场域），Rn为n 维欧几里得空间，点 S 的坐标可以是一维的、二维的和三维的，相应地，X（S）也分为一维、二维和三维随机场。
类似于随机过程的分析方法，也可以用有限维分布函数族来刻画随机场的概率结构。随机场 n 维分布函数可以表示为：
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由于随机场有限维分布函数族结构的复杂性，使得其在实际应用中几乎不可能。因此，对于刻画随机场数字特征的研究则显得十分重要。
随机场X（S）的数学期望定义为：
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与随机过程相类似，m（S）反映了X（S）的样本函数集合的平均中心点组成的场域曲面。
随机场X（S）的自相关函数定义为：
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式中：s1，s2——空间场中任意两个点；
x1，x2——两个点的随机变量。
随机场X（S）的自协方差函数定义为：
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同样，协方差函数与相关函数之间存在着下列关系：
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与随机过程的平稳性相对应，在随机场中有所谓均匀性的概念，一个随机场，若在空间坐标的任一平移下，其有限维分布函数保持不变，则称该随机场是均匀的。一个随机场可以是一维均匀、二维均匀或三维均匀，实际上，对于一个随机场，若能满足条件：
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则称该随机场是广义均匀的，式中r是指空间点S1，S2之间的距离，也就是说随机场相关系数只受空间点距的影响，而与点的具体位置无关。
由于水文地质学研究的对象往往是针对一个独立的含水系统而言，在我们的研究中经常要了解含水系统地下水位面的变化规律和分布规律，含水层露头区不同位置大气降水补给强度问题，单个含水层水文地质参数的分布规律等都属于典型的二维随机场问题。而对于含水层边界中一类边界（如河流等）在不同位置的水位分布，二类边界在不同位置的水交替量分布等问题属典型的一维随机场问题。借助于水文地质研究的基本概念，不难知道，随机场也有各向同性和各向异性的概念。
1.4.1 随机场的相关结构性
对于随机场研究的实际应用而言，确定随机场的相关函数或协方差函数往往是问题开始解决的第一步。而对于均匀随机场{X（S）；S∈D⊂Rn}，由于其均值函数为一常量，因此，可将其表示为如下形式：
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式中：X0（S）——随机场的均值函数；
Xr（S）——一零均值随机场。
对Xr（S）而言，因mX（S）=0，所以RX（S1，S2）=CX（S1，S2），即协方差函数与相关函数相同。实际上Xr（S）反映了随机场每个样本函数对均值场域的离散程度。
对于均匀随机场X（S）的研究，可通过对Xr（S）的研究进行。随机场的相关结构一般是指Xr（S）的协方差函数或相关函数，常见的均匀随机场相关结构类型有如下几种（用归一化协方差函数表示）。
（1）三角型相关结构：
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（2）指数型相关结构：
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（3）高斯型相关结构：
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式中：a——相关尺度函数；
———归一化协方差函数。
对于非均匀随机场X（S）的相关结构则较为复杂，有兴趣的读者可参阅文献［37］。
1.4.2 随机场的离散化问题
类似于对于其他场域问题的研究方法，对于定义的随机场域，也可通过空间区域划分的方法，将连续的随机场转化为离散的随机变量的集合，对于离散化后的每一个单体单元，可将其视为一个随机变量，从而将对随机场的研究转换为对有限多个互相关联的随机变量的研究。将连续的随机场转化为离散的随机变量的集合。这种单元的划分有些类似于有限单元法中的有限元划分。不过，对于有限元划分，要求划分后的单元可以合成为原连续体，一般要求位移连续、水位连续、物质守恒等原则。而对于随机场的离散化，考虑问题的重点在于离散后随机变量的数字特征（主要为二阶数字特征）。按照离散后随机变量与离散单元随机场的关系，随机场离散化的主要方法有中点法、形函数法（节点法）与局部平均法，以二维随机场为例说明这三种离散化方法的基本思想。
图1.17所示为一个随机场的离散化剖分示意图。
图1.17 随机场剖分示意图
用中点法进行随机场离散是指以单元几何形心点上定义的随机变量 X（SC）代替单元随机场{X（S）；S∈D}，即取：
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在此基本原则下，原随机场离散为随机变量集合{Ui=X（SCi）}，i=1，2，…，n}，各变量的数字特征及变量间相关特征由其几何形心点随机变量 Ui的值来决定。如：
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很明显，利用中心点法进行随机场离散，只有当单元划分的很小或随机场随坐标的不同变异程度较小时才能取得较好的精度。
为了改变中点法的精度，另一种途径是利用单元节点随机变量的集合代替（近似）整个随机场，通过节点间形函数的插值来逼近原单元内随机场。换句话说，就是单元随机场由场在节点上的随机变量通过形函数的插值得到，即：
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式中：q——单元节点个数；
Nj（SD）——插值形函数，一般取多项式形式。
在这种剖分原则下，原随机场离散为随机变量的集合。
{Vj=X（Spj），j=1，2，…，m}。各变量的数字特征及变量间相关特征由节点随机变量的相应值确定。
单元随机场数字特征与节点随机变量数字特征之间关系为：
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对于局部平均法，则采用各离散单元的局部平均随机变量来代表单元随机场，即：
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于是，原随机场离散为随机变量的集合{Vi，i=1，2，…，n}，随机变量 Vi的均值（如图1.18）为：
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图1.18
Vi的方差为：
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Vi与Vj的协方差定义为：
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