证明函数的连续性的方法如下：
1、利用函数的极限：如果在函数x=a的极限下仍等于函数在点x=a时的值，即lim（x→a）f（x）=f（a），那么称这个函数在点x=a处连续，也可以说这个函数在开区间（x-δ，x+δ）内连续。
2、利用函数的ε-δ定义：如果对于任何给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得对于所有满足|x-a|<δ的x，都有|f（x）-f（a）|<ε，则称这个函数在点x=a处连续。这意味着无论在哪个区间内，对于极限接近点a的所有x都有f（x）非常接近f（a）。
连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
函数的由来
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是中国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在中国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
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