如何判断4点共圆

Question

如题所述

Answer 1

判断四点共圆的方法有利用直径所对的圆周角是直角、利用对角互补的四边形是圆的内接四边形、利用四点到同一直线的距离相等。

1、利用直径所对的圆周角是直角：已知四点A、B、C、D，如果能够证明ABCD四点共圆，那么，就可以利用直径所对的圆周角是直角这个结论来证明。

2、利用对角互补的四边形是圆的内接四边形：已知四点A、B、C、D，如果能够证明对角互补的四边形ABCD是圆的内接四边形，就可以利用对角互补的四边形是圆的内接四边形这个结论来证明。

3、利用四点到同一直线的距离相等：已知四点A、B、C、D，如果能够证明四点到同一直线的距离相等，那么，就可以利用四点到同一直线的距离相等这个结论来证明。

四点共圆的应用：

1、证明三角形全等：在三角形ABC中，AB、AC的延长线分别与BC、CA的延长线相交于点D、E，若能证明四点D、A、B、E共圆，则可利用圆周角定理得到∠ADB=∠AEB。根据三角形全等的判定定理，若两个角的对应边分别相等，则这两个三角形全等。可以证明三角形ABC与三角形ABE全等。

2、证明角相等或互补：在四边形ABCD中，若能证明四点A、B、C、D共圆，则可以利用圆周角定理得到∠ABC+∠ADC=180°或者∠ABC=∠ADC。根据四边形的内角和定理，四边形的内角和等于360°，如果两个角的和等于180°，则这两个角互补。如果两个角相等，则这两个角的补角也相等。因此，可以证明∠ABC和∠ADC互补或者相等。

3、计算圆的半径：如果能够证明四点A、B、C、D共圆，并且知道四点中任意三点到圆心的距离分别为a、b、c，则可以设圆的半径为r，利用勾股定理得到（a-r）²+（b-r）²=c²。通过解这个方程，可以得到圆的半径r。这是一个非常实用的方法，可以在不知道圆的半径的情况下计算出圆的半径。