（2013?南通一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延

Question

（2013?南通一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线与点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD并延长交AE于点F，若EC∥AB，OA=6，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，OD⊥AC，
∴∠COE=∠AOE，
∵在△COE和△AOE中，

OA＝OC ∠COE＝∠AOE OE＝OE

，
∴△COE≌△AOE（SAS），
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）解：设BF与OC相交于点G，
∵EC∥AB，
∴∠AEC=∠OAE=90°，
∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°，
∴四边形OAEC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OAEC是正方形，
∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，
∵OG∥AE，
∴

OG

EF

=

OD

ED

=1，
∴OG=EF，
∵OG∥AE，
∴

OG

AF

=

OB

AB

=

1

2

，
∴

EF

AF

=

1

2

，
∴AF=

2

3

AE=

2

3

×6=4．