二次型的标准型唯一吗？

Question

如题所述

Answer 1

二次型的标准型不唯一。

一个二次型用配方法得出的标准型不是唯一的，不变的是正负惯性指数。矩阵的标准型，是将矩阵行、列变换后得到的。方程组的系数矩阵只能行变换，若进行了列变换，就不再是原来的解。

通过有限步的行初等变换, 任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间, 因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。

标准型矩阵

矩阵标准型的理论来自于矩阵的相似性，换句话说，矩阵在初等变化下有很多数值不一样的表象，但其本质特征，如秩，特征值，特征多项式等都是相同的，这些相似不变量就是这个矩阵的本质特征，而如何用最简单的形式表征这些矩阵就是标准型的由来了。

但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形. 类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。