数学问题:已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件

Question

1,已知定义域为[0,1]的函数y=f(x)满足下列条件

(1)f(0)=0,f(1)=1

(2)对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1,都有f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)

求证:(1)f(x)在[0,1]上是增函数

(2)对任意正整数n,都有f(1/2^n)≤1/2^n

(3)对任何x∈[0,1],都有f(x)≤2x

最好解析一下

Answer 1

1、f(0)=0,f(1)=1，对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1, x1+x2∈[0,1], f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)，设1≥x2>x1≥0，则x1+x2>x2>x1,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) ≥0, f(x1+x2)>f(x2),设x1+x2=x0,x0-x2=x1=△x,f(x2+△x)>f(x2)，自变量x增加，函数值随之增加，,故f(x)在[0。1]区间内是增函数。

2、1/2<1, 对任意正整数n，随着n越大，值则越小，而f(x)是增函数，故函数值小于等于自变量值。这里用数学归纳法证明一下。

当x=1时，函数是增函数，其值域为[0,1],其最大值为1，根据已知条件，f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)，

f(1/2)+f(1/2)≤f(1/2+1/2)，2f(1/2) ≤f(1)=1,f(1/2) ≤1/2,不等式成立。

设x=k时，不等式成立，f(1/2^k)≤1/2^k,

当x=k+1时，1/2^(k+1)=1/2^k*(1/2)<1/2^k,因函数在[0，1]的区间内是增函数，自变量x越小，则函数值越小，故 f(1/2^(k+1))<1/2^(k+1),

∴对任意正整数n,都有f(1/2^n)≤1/2^n

3、要使2x∈[0,1]有意义,则 x∈[0,1/2],设x=x1=x2,x[0,1/2],在f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)式中，用x替代式中的x1和x2,f(x)<=f(2x)/2<=f(2x)<=2x,(因为是增函数)，

∴ 对任何x∈[0,1],都有f(x)≤2x，证毕。

Answer 2

(1)是不可能证出来的，即使加上f(x)的连续性也不够，反例很容易举，比如分段线性函数
f(x)=-x, x∈[0,1/2)
f(x)=3x-2, x∈[1/2,1]
所以需要再加条件才可能证出来。

(2)利用条件(2)和反证法直接得。

(3)如果加了条件之后能证出单调性，则利用单调性易得x∈[1/2,1]时成立(f(x)<=f(1)=1<=2x)，再利用条件(2)得x∈[0,1/2]时成立(2f(x)<=f(2x)<=2x)。

Answer 3

还是自己想好

Answer 4

1、f(0)=0,f(1)=1，对任何x1,x2∈[0,1],且x1+x2≤1,x1+x2∈[0,1],f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)，设1≥x2>x1≥0，则x1+x2>x2>x1,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)≥0,f(x1+x2)>f(x2),设x1+x2=x0,x0-x2=x1=△x,f(x2+△x)>f(x2)，自变量x增加，函数值随之增加，,故f(x)在[0。1]区间内是增函数。
2、1/2<1,对任意正整数n，随着n越大，值则越小，而f(x)是增函数，故函数值小于等于自变量值。这里用数学归纳法证明一下。
当x=1时，函数是增函数，其值域为[0,1],其最大值为1，根据已知条件，f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)，
f(1/2)+f(1/2)≤f(1/2+1/2)，2f(1/2)≤f(1)=1,f(1/2)≤1/2,不等式成立。
设x=k时，不等式成立，f(1/2^k)≤1/2^k,
当x=k+1时，1/2^(k+1)=1/2^k*(1/2)<1/2^k,因函数在[0，1]的区间内是增函数，自变量x越小，则函数值越小，故f(1/2^(k+1))<1/2^(k+1),
∴对任意正整数n,都有f(1/2^n)≤1/2^n
3、要使2x∈[0,1]有意义,则x∈[0,1/2],设x=x1=x2,x[0,1/2],在f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)式中，用x替代式中的x1和x2,f(x)<=f(2x)/2<=f(2x)<=2x,(因为是增函数)，
∴对任何x∈[0,1],都有f(x)≤2x，证毕。