高分跪求高等数学中有关“极限”的详细知识！

Question

我今年上大学，但是对于“高等数学”这门课很头疼，目前在学习关于“极限”的问题，很多东西都不理解，请求比较系统而全面的知识解析，谢谢啦！
大学老师一般上完课就跑路了，根本问不着。我很苦恼。请大家相信，我已经没办法了，要不然我也不会悬赏那么高的分。敬告各位回答者：非诚勿扰！请认真回答！

Answer 1

以下是WORD文档的一些内容....
由于不能附图...故有些例题有丢失.......

极限计算方法总结
靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： ； ； ；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 ， 都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）
（2） ；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如： ， ， ；等等。
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～ ～ ～ ～ ～ ～ 。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成 时（ ），仍有上面的等价
关系成立，例如：当 时， ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小，且 ～ ， ～ ，则当 存在时， 也存在且等于 ，即 = 。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 和 满足：（1） 和 的极限都是0或都是无穷大；
（2） 和 都可导，且 的导数不为0；
（3） 存在（或是无穷大）；
则极限 也一定存在，且等于 ，即 = 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“ ”型或“ ”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是函数 的定义去间内的一点，则有 。
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知 为三个数列，且满足：
（1）
（2） ，
则极限 一定存在，且极限值也是a ，即 。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解：原式= 。
例3
解：原式 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限
例4
解：因为 是函数 的一个连续点，
所以 原式= 。
3． 利用两个重要极限求极限
例5
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式= 。

例7
解：原式= 。
4． 利用定理2求极限
例8
解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
解： ～ ， ～ ，
原式= 。
例10
解：原式= 。
注：下面的解法是错误的：
原式= 。
正如下面例题解法错误一样：
。
例11
解： ，
所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 （例4）
解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13
解：原式= 。
例14
解：原式= = 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15
解：

例18
解：错误解法：原式= 。
正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解：易见：该极限是“ ”型，但用洛比达法则后得到： ，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
原式= （分子、分母同时除以x）
= （利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知 ，求
解：易证：数列 单调递增，且有界（0< <2），由准则1极限 存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：
，解得： 或 （不合题意，舍去）
所以 。
例21
解： 易见：
因为 ，
所以由准则2得： 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

Answer 2

这个很系统！！
考点1 数列的极限
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.
注意：a不一定是｛an｝中的项.
2.几个常用的极限：① C=C（C为常数）;② =0;③ qn=0（|q|＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，
当 an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b;

注意:
运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：
（1）各数列的极限必须存在；
（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.

考点2 函数的极限
1.函数极限的概念：
（1）如果 f（x）=a且 f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作 f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.
（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作 f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.
（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作 f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数
f （x）在点x0处的右极限，记作 f（x）=a.
2.极限的四则运算法则：
如果 f （x）=a, g（x）=b,那么
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）•g（x）]=a•b; = （b≠0）.

考点3.函数的连续性及极限的应用
1.函数的连续性.
一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2） f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且 f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.
2.如果f（x）是闭区间〔a,b〕上的连续函数，那么f（x）在闭区间〔a,b〕上有最大值和最小值.
3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）•g（x）, （g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f〔u（x）〕在点x0处也连续.

Answer 3

极限部分不外乎就是极限计算和极限证明两种题型

极限计算的方法也就是等价无穷小和洛必达法则，熟悉了这两种方法基本做题的时候也就无往不利；极限证明就是熟悉了概念之后，在证明中再适当的进行放缩就可以得出结果。

其实这样泛泛而谈没什么意义，还是要结合实际的题目来讲解，这些是我在百度知道回答过的极限证明和极限计算的题目的归类集锦，应该说还是比较有代表性的，毕竟是很多人问过的题目，可能对你有帮助

http://hi.baidu.com/%BC%F2%B3%C6%B6%E9%CC%EC%CA%B9/blog/item/b1d0711fb593b200304e15d1.html

http://hi.baidu.com/%BC%F2%B3%C6%B6%E9%CC%EC%CA%B9/blog/item/23f0b68777fe1020c65cc3d8.html

Answer 4

采用别人的回答：
举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了
最后一句不对，x并没有远离c，而是x的取值范围宽了，是这个范围内的所有x都满足，当然小范围的也满足，也就是说δ可以取的稍大一些都满足了，取小一点也就满足了
对于无限小的一个ε，只要存在δ，0＜/x-c/＜δ时满足，那么对于所有0<u<δ,当0＜/x-c/＜u时也满足/f(x)-L/＜ε
举个特例f(x)=3显然有limf(x)(x->c)=3
不管ε取多大，δ取任意正值都满足，当然δ取很小的时候也应该满足

2.取δ=1只是一个假设，用来做验证的，看δ=1满不满足，还需什么条件
在取δ=1以后，就是先假定0＜/x-3/＜1时成立，然后进行推导发现，除了要满足0＜/x-3/＜1以外，还必须满足0＜/x-3/＜ε/7就可以做到/f(x)-L/＜ε
即0＜/x-3/＜min{1,ε/7}时就是δ=min{1,ε/7}时/f(x)-L/＜ε必成立
像1里说的δ还可以取更小的值也都是对的
我对极限也有点头疼，后来想想，实际上极限就是x趋近于某一个值时，函数无限的趋近一个值，那么这个值就是这个函数的极值，这样想很多东西就可以理解了，多看看书

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/37269871.html

Answer 5

首先极限的定义是在自变量的某个变化过程中对应的函数值无限接近某个确定的数那么这个数就是该函数的极限。其次就是对极限的证明，分两种情况 一 是极限在某一点 二是极限在无穷远处 证明过程你就去看书………内容有点多迫于条件我实在是写不下去 只能给个建议：多翻下书吧 不懂就多看几遍 上课认真听就差不多了 还是不行就买本配套的参考书