一个很简单的高中水平的数学题目

Question

一个圆圈，被划成m（m为正整数）个扇形，在这m个扇形上涂色，有n（n为正整数）种颜色可以选择，只要求同色不相邻，有多少种方法？这题目我很多年前想出过答案，后来忘了解法，嫌烦懒得再想，卡了很多年，最近回忆一下，其实很简单，看看大家的意见。
看来关心这个的人不太多,投票吧.

Answer 1

用数列的方法做

先把m块扇形表示序号从1到m号

那么设分成m块有am种方法 同理 分成m-1块有am-1种方法
然后am可以看成这么组成的
一是分成了m-1块 有am-1种方法 然后在m-1号和1号中间加一块扇形 加的一块扇形有n-2种颜色
所以这部分有（n-2）am-1 种方法
二是分成了m-2块 有am-2中方法 然后在第m-2号扇形中间插入一块扇形 加的这块扇形有n-1种颜色（比如第m-2块的颜色是红 那么变成红白红 这种插入方法就相当于加了两块）
所以这部分有（n-1）am-2种方法

综上 am=（n-2）am-1+（n-1）am-2
利用特征根法 x^2=（n-2）x+（n-1）
解得x1=n-1 x2=-1

am=A（n-1）^m+B(-1)^m
AB两个参数 把m=1 m=2时的情况代入求解（我就不帮你算了 没草稿纸）
解出AB 那就OK了

Answer 2

第一块扇形和最后第二块扇形颜色如果不一样n*[(n-1)的m-2次方]*[(n-2)]
第一块扇形和最后第二块扇形颜色如果一样
n*[(n-1)m-1次方 ]

Answer 3

n*[(n-1)^(m-2) ]*(n-2)
乱想的，不知道对不对，我觉得第一块有n种选择，最后一块有n-2种选择，其他的都有n-1种
正确答案是什么呢

Answer 4

这个题可以这样做：
只要按要求涂完所有扇形 就算OK了 所以第一块有n种涂法
第二块由于不能与第一块颜色相同，所以有n-1种涂法
顺着涂下去，一直到第m-2快都是有n-1种涂法
但到第m-1块开始分类
第一类：第m-1块颜色与第一块相同
此时最后一块便有n-1种涂法
即第一类一共有n*（n-1）＾（m-2）→这是分步乘法原理
第二类：第m-1块的颜色与第一块不同
此时最后一块便有n-2种涂法
即第二类一共有n*[（n-1）＾（m-2）]*（n-2）→同上
所以加起来便是答案了：n（n-1）＾（m-1）→即分类加法原理

Answer 5

第m-2块跟第m块的颜色可能是一样的。这样第m-1块就有n-1种选择而不是n-2
第1块扇形有n种
第2块有n-1种
第3块有n-1种
......
第m-2块有n-1种
到这里可以得出n*[(n-1)^(m-3)]
接下来应该分2种情况
1.第m-2的颜色和第1块不相同。这种情况有n-1种。
2.第m-2的颜色和第1块相同，这种情况有1种。
综上得n*[（n-1)^(m-3)](n-1)(n-2)+n*[（n-1)^(m-3)]*1*(n-1)
=n*[（n-1)^(m-1)]
最后答案应该是n*[（n-1)^(m-1)]

Answer 6

我给4楼补充一下
（n-2）am-1是对应第一块和第m-1块不同色的情况
（n-1）am-2是对于第一块和第m-1块不同色的情况
他的思路是正确的，按照这个思路应该可以得到答案，但还有一个解法，设本题目答案为函数F(m,n)当m>2时有：
F(m,n)=n(n-1)^(m-1)-F(m-1,n)
可以用这个递归，不管m有多大，他最终会在F(2,n)=n(n-1)处结束。
F(m,n)=n(n-1)^(m-1)+n(n-1)^m-…………(+/-)?F(3,n)
=n(n-1)^(m-1)+n(n-1)^m-…………(+/-)?n(n-1)^2(-/+)?n(n-1)
不难看出这是一个等比数列，首项是n(n-1)^(m-1),定比为：-1/（n-1），求的是前(m-1)项之和。
很容易就可以算出结果为：
F(m,n)=(n-1)^m+[(-1)^m](n-1)
但这只是m>2时的情况，当m<=2时，F(2,n)=n(n-1)和实际情况不冲突,F(1,n)=0和实际情况(应该为n)冲突,则最后结果为：
当m=1时，方法数目为：n。
当m>1时，方法数目为：(n-1)^m+[(-1)^m](n-1)。