设A，B是两个相似的n阶矩阵，I是n阶单位矩阵。若B∧2＝B，证明R（A）+R（A-I）＝n

Question

如题所述

Answer 1

这个可以直接双向证明.证明: A^2 = A<=> (1/4)(B+I)^2 = (1/2)(B+I)<=> B^2+2B+I = 2B+2I<=> B^2 = I注: 每步都是充分必要, 故A^2=A的充分必要条件是B^2=I

Answer 2

B=PAP^{-1}
从B^2=B可以得到A^2=A
然后对
A 0
0 A-I
做相抵变换
A A
0 A-I
->
A A
-A -I
->
0 0
-A -I
->
0 0
0 -I本回答被网友采纳