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设A和B都是n阶矩阵
设A
.
B
均
为n阶矩阵
,则下列正确的为()。
答:
【答案】:C 一般的
矩阵
乘法是没有交换律的,所以B、D两项不正确。A项中描述的是显然是不正确的。C项是矩阵运算中一个重要的结果。
设A
,
B都是n阶矩阵
,AB=A+B,证明:(1)A-E,B-E都可逆;(2)AB=BA
答:
简单分析一下即可,详情如图所示
设A和B都是n阶矩阵
,则AB是可逆矩阵的充分必要条件是A和B都是可逆阵
答:
由于
矩阵
可逆等价于其行列式非0,而矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,即 |AB|=|A||B|,因此 |AB|不等于0,当且仅当 |A|,|B|都不为0.于是 AB可逆当且仅当 A,B都可逆.
设A
,
B
均
为n阶矩阵
,下列关系一定成立的是 (AB
答:
因为A,B可逆,故A^-1,B^-1存在,AB可逆,且有A*=|A|A^-1,B*=|B|B^-1.故(AB)*=|AB|(AB)^-1 =|A||B|B^-1A^-1 =(|B|B^-1)(|A|A^-1)=B*A A
B都是n阶矩阵
,且AB=0,那么取行列式得到 |AB|=|A|*|B|=0 所以...
设A
,
B都是n阶矩阵
,则A^2-B^2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是什么
答:
因为(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 -
AB
+
BA
- B^2,所以A^2-B^2 = (A+B)(A-B) 等价于 A^2-B^2 = A^2 - AB + BA - B^2,即 - AB + BA = 0,亦即AB = BA.因此A^2-B^2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是 AB = BA....
设A
,
B是n阶矩阵
,证明:AB与BA具有相同的特征值
答:
只需证明:若λ是
AB
的特征值,则λ也是
BA
的特征值。分两种情况:(1)λ≠0。由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx。所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾)。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值。(2)λ=0。
设A
,
B都是n阶
对称
矩阵
,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA
答:
因为A,
B都是n阶
对称
矩阵
,故A=A',B=B'.1)充分性.由于AB=BA 所以(AB)'=(BA)'=A'B'=AB.故AB是对称矩阵.2)必要性.由于AB是对称矩阵,得 (AB)'=AB,B'A'=AB,BA=AB.故命题成立.
设AB是n阶矩阵
,证明AB可逆当且仅当
A和B都
可逆
答:
因为A,B均可逆,所以A,B的行列式均不等于零。则:/AB/=/A//B/不等于零。故AB可逆。假
设A
,B中至少有一个不可逆。不妨设A不可逆。则:/A/=0则:/AB/=/A//B/=0则
与AB
可逆矛盾。故:AB可逆当且仅当A,B均可逆。
设A
B都是n阶
对称
矩阵
,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 求...
答:
简单计算一下即可,答案如图所示
设A
,
B
均
为n阶矩阵
,若AB=0,那么rA+rB等于多少?
答:
B
=0 则B的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解 所以B的列向量可由AX=0 的基础解系线性表示 AX=0 的基础解系含
n
-r(A) 个向量 (这是定理)所以 r(B) <= n-r(A)
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A是m阶矩阵B是n阶矩阵
设n阶矩阵A与s阶矩阵B都可逆
设A为n阶矩阵B为m阶矩阵
n阶矩阵A与n阶矩阵B等级
若A和B为n阶矩阵且A和B相似
A和B都是n阶正定矩阵
设ABCD都是n阶可逆矩阵
设A和B为n阶矩阵
设n阶矩阵A和B满足