如何利用导数判断函数的极值？

Question

如题所述

Answer 1

ac-b^2=0无法直接判断极值，需要进一步考察函数的二阶导数，即需要考察函数的二阶导数在该点的性质。
在微积分中，我们通常会用到一阶导数和二阶导数来判断函数的极值。如果函数的一阶导数在某一点为零，那么这一点就是函数的驻点，也就是可能的极值点。然而，并非所有的驻点都是极值点，这需要通过考察函数的二阶导数来判断。
当一阶导数为零，即ac-b^2=0，我们找到了可能的极值点。但是，这并不能直接确定该点就是极值点，我们需要进一步查看该点的二阶导数。如果二阶导数大于零，那么这一点就是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么这一点就是函数的极大值点；如果二阶导数等于零，那么我们无法直接通过二阶导数判断该点的极值情况，可能需要更高阶的导数来判断。
例如，对于函数f(x) = x^3，其一阶导数为f'(x) = 3x^2，二阶导数为f''(x) = 6x。在x=0处，一阶导数等于0，即ac-b^2=0，但是二阶导数也为0，因此我们无法直接通过二阶导数判断x=0处的极值情况。实际上，x=0是f(x)=x^3的拐点，而非极值点。
所以，当我们通过一阶导数找到可能的极值点，即ac-b^2=0时，我们不能直接判断这就是极值点，还需要进一步考察二阶导数的性质。这就是微积分中判断函数极值的一般方法。

Answer 2

 如何判断函数的极值点？

首先，我们需要了解什么是导数。

导数是函数图像上任意一点切线斜率的瞬时变化率。换句话说，它描述了函数在该点处的增长速度。

通过导数来寻找函数的极大值和极小值。

当函数在其定义域内存在驻点（即导数等于零的点）时，这些驻点可能就是极值点。然而，并非所有的驻点都是极值点，因为可能存在这样的情况：一个点两边的曲线分别向上和向下凹陷，但该点本身并不是极值点。所以，在确定极值点时，还需要对驻点进行进一步的检验。

判断驻点是否为极值点。

我们可以使用二阶导数测试法。如果二阶导数大于零，则原点是一个局部最小值；如果二阶导数小于零，则原点是一个局部最大值。若二阶导数等于零，则无法通过这个方法判断极值点，此时需要借助其他手段，如泰勒公式、比较大小等方法来进行判断。

除了上述方法外，还有一些特殊情况需要注意。例如，端点也可以成为函数的极值点。在这种情况下，我们需要将端点与邻近的点进行比较，以确定其是否为极值点。