一个线性代数问题：设a1...as为n维向量组A为m×n向量组为什么若a1...as线性相关则Aa1...Aas也线性相关？

Question

图中那个不等式的前半段我都可以理解，但是我们不知道s和m之间的大小关系，如果是s大于m，那么r（Aa1...Aas）就有可能为m，这样也满足小于不等式右侧小于s的条件，但此时他应该是线性无关的，我的这个逻辑哪里出现了问题

Answer 1

你s>m的话，那它的秩肯定就是小于s的了，肯定就是线性相关的了追问

Aa1...Aas是一个m×s的矩阵，他的秩小于等于m和s中较小的那一个即小于等于m。Aa1...Aas的满秩是m，如果此时他的秩就是m，那么这时他满秩即为线性无关，同时也满足了小于s这个条件呀

追答

你应该是概念没搞清楚，这里做比较只与s有关，也就是列数有关，假设3行5列，它的秩小于等于3，必然小于5。也就是对应齐次线性方程组有非0解，故线性相关。

追问

应该是我哪里概念搞错了，那么这个3*5的矩阵当秩=3时他叫满秩吗

追答

这叫行满秩

追问

我似乎明白了我问题出在哪里来，一个列向量组是否相关看的是列的秩是否满秩和行秩没有任何关系，我原来一直认为任意一个m*n的矩阵只要行满秩或者列满秩就是线性无关

Answer 2

首先Aa1……Aas一共是s个，如果s大于m，虽然Aa1……Aas的秩是m，但秩的个数m小于向量组的个数s，所以还是线性相关的。
在这里A可看作是对a1...as进行了线性变换，线性变换能将线性相关的变成线性相关的，而不一定将线性无关的变成线性无关的（如零变换）。