在三角形ABC中角abc所对边分别为abc已知A≠二分之πbsinA=bcosAsinB.求a的值

Question

如题所述

Answer 1

首先，根据已知条件可以得到：
bsin(A/2) = ccos(A) * sin(B)
根据正弦定理，有：
a / sin(a) = b / sin(b) = c / sin(c)
因此，可以将三角形的面积用两种不同的形式表示出来：
S = (1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * b * c * sin(A)
将已知条件带入式子中，可以得到：
bsin(A/2) = ccos(A) * sin(B)
2 * b * sin(A/2) = 2 * c * cos(A) * sin(B)
2 * b * (2*sin(A/2) * cos(A/2)) = 2 * c * cos(A) * sin(B)
b * sin(A) = c * sin(B)
代入三角形面积的两种形式，得到：
S = (1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * b * c * sin(A)
S = (1/2) * a * c * sin(B) = (1/2) * b * c * sin(A)
将两个式子相等，可以消去公共因子(1/2) * b * c * sin(A)，得到：
a * sin(C) = c * sin(B)
将正弦定理代入，得到：
a / sin(a) * sin(C) = c / sin(c) * sin(B)
因此，
a * b * c / (2 * S) * 2 * S / (b * c * sin(A)) * sin(C) = c / sin(c) * sin(B)
化简得到：
a / sin(A) = sin(B) / sin(C)
使用正弦定理，将sin(B)和sin(C)表示成a、b、c的比例，得到：
a / sin(A) = (2a * sin(A/2) * cos(A/2)) / (2a * sin(B/2) * cos(B/2)) * (2a * sin(C/2) * cos(C/2)) / (2a * sin(A/2) * cos(A/2))
化简得到：
a / sin(A) = cos(C) / cos(B)
再次使用正弦定理，将cos(B)和cos(C)表示成a、b、c的比例，得到：
a / sin(A) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) / (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
化简得到：
a^4 = b^2c^2
因此，a = ±sqrt(b^2c^2) = ±bc
根据题意，a ≠ π，因此a = bc.