设A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)>0

Question

如题所述

Answer 1

首先，A'Ax=0与Ax=0同解，所以r(A'A)=r(A)=A'A的阶数，从而A'A可逆。这说明Ax=0只有零解。
其次，对任意非零列向量x有x'A'Ax=(Ax)'Ax>0，所以A'A是正定矩阵，于是det(A'A)>0。