如今我的本科课程已经基本完成，可以给出常规情况下、在我看来的纯数学（包括概率论，不包括统计、计算、优化这些）课程的难度等级了。
我给每个课程指出星级，用五星表示最难。
数学分析（一）：二星。难度并不是在具体的理论上，而是这门课要求你突破过去对数学的印象，理解什么是数学的问题。基本上不抽象，也没什么计算量，看起来魔法的操作也不是没有头绪。
数学分析（二）：二星。具体的理论比数学分析（一）难，主要是因为有Riemann可积性和一致收敛性，这两部分差不多是整个数学分析里最抽象的。如果你在数学分析（一）已经学习了不定积分，那么在这里应该不会碰到过多困难的计算题。
数学分析（三）：三星。这个要看情况了。国内主流的教材并没有把多元微积分讲得那么清楚，实际上它是需要涉及很多线性代数的。在较大的计算量中抓住重点，同时又需要把线性代数学明白，应该比前两个更难。至于讲不清楚的情况，我并不觉得这会让它变容易，反而降低人的智商。
（高等数学：上下都是二星。这根本就不是数学课，而是做题课，这些题不算难也不算简单，除了公式也需要有点技巧）
高等代数（一）：二星。高等代数是比数学分析更抽象的课，因为它所研究的多维线性空间不再是过去建立过直观意义的对象。不过好在这门课的习题大多比较平凡。
高等代数（二）：三星。通常这门课会接触到一般域上的线性空间和线性映射概念，以及带有度量的线性空间，抽象程度要大很多，夹杂的计算也变多了。
解析几何：一星。通常的解析几何课只涉及到一些特殊的曲面和二次曲面，相对于高中的解析几何和立体几何并没有增加太多难度。公式比较多但是可以现推，只要读过一遍教材就不难理解。
常微分方程：二星。初等解法、高阶方程和方程组的解法都是初等的，只是计算量比较大。这门课的难度取决于会涉及到多少性质理论，以及这些部分的考试难度。
抽象代数：四星。有很多概念都很难建立起直观印象，比如正规子群和Sylow子群，如果了解过建立这些概念的动机会好一些。这门课比较吃天赋，有些想法我理解不了。
复变函数：三星。看似和数学分析差不多，然而复数集终究是比实数集更抽象，同时在这门课中也有比数学分析更复杂的技巧，过去的技巧如今只是显而易见。
概率论：一星。如果在这门课只出现随机事件、随机变量和多维随机变量，那么这门课始终是初等的。关键就在于讲多少大数定律，以及这一部分的考试题有多难。
偏微分方程：五星。这应该是我上过的最难的课，不论是在想法上还是在施行上都很难，也就是说又抽象又有很大的计算量。我从来没有在这门课上独自做出过习题。如果这门课是在泛函分析后面开的，就会进一步可怕得多。
实变函数：四星。理论实际上不是特别抽象，毕竟研究的是实数集上的事情，只要你把数学分析中的一致收敛性之类的东西学明白就不会太担心看不懂。但是习题实在是太魔法了。
泛函分析：四星。泛函分析通常是本科数学里最接近现代的课程。这门课在真正意义上要求你理解线性代数的内涵，即不应该把目光放在有限维空间上。你要先认为共鸣定理是显然的，然后觉得不可思议，最终又觉得很合理，才算是学会它。
微分几何：三星。本科的微分几何一般是古典的，即研究三维欧式空间上的曲线和曲面。学好数学分析和高等代数，有不错的计算能力和空间想象能力，会很有帮助。如果是讲现代微分几何，或者叫微分流形，五星也不够用。
拓扑学：四星。理论上是本科最抽象的课，但是直观的例子相对没那么难找，就让它不那么变态了。如果有的老师非要讲一些代数拓扑，自求多福吧。
初等数论：五星。我实在是接受不了这种一个问题创造一个技巧的操作，可能我智商不够吧。
发布于 2020-03-30著作权归作者所有
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