矩阵秩的性质

Question

A阵是4x3阶矩阵，秩为2，B阵为三阶可逆阵，问r（AB）为多少

Answer 1

B为可逆阵，则r(B)=3
而因为: 任何满秩矩阵都可以看成是对单位阵的初等变换而来（左乘，右乘）
所以, B=PEQ
则：AB=A*PEQ=AP*EQ =APQ
PQ是矩阵的初等变换后得到的
所以，r(AB)=2

Answer 2

用可逆矩阵去乘任何矩阵，不改变原矩阵的秩，所以
R(AB)=R(A)=2

Answer 3

矩阵A乘以可逆矩阵，结果秩等于矩阵A的秩。因为乘以一个可逆矩阵等于对该矩阵做一系列初等行变换，或者初等列变换。不会改变矩阵的秩

Answer 4

将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩