排列组合的公式怎么推导出来？

Question

如题所述

Answer 1

一、从n个不同的事物中选取（也就是组合）r个进行排列，记为A(n,r)。
其实就是先从n个不同事物中选取r个，记为C(n,r)。再将这r个事物进行全排列，也就是A(r,r)。
因此有A(n,r) = C(n,r) * A(r,r)。
二、反过来想，所谓的组合就是从A(n,r)个排列中，剔除掉从组合意义层面讲那些相同的情况。比如情况(1,2,3)和情况(1,3,2)在组合层面就是相同的，需要剔除。
那么为什么会相同呢？无非是因为全排列。我们从n个选取r个，有C(n,r)种情况，每种情况再进行A(r,r)的全排列。
因此可以得出C(n,r) = A(n,r) / A(r,r)。
三、关于排列公式A(n,r) = n*(n-1)*……*(n-r+1) = n!/(n-r)!
其实就是排满有顺序的r个位子，第一个位子有n种情况，第二个位子有n-1种情况（由于第一个位子已占去了1个），以此类推。
四、强调n个不同的事物，这里的“不同”很重要。