已知X, Y是连续型随机变量，求X+ Y的密度函数。

Question

如题所述

Answer 1

设X和Y的联合密度函数为f(x,y)。则X+Y的密度函数fZ(z)可以通过如下公式求得：
fZ(z) = ∫f(x, z-x)dx
其中，积分区间为使f(x, z-x)≠0时的x区间，即X+Y的取值范围。这里需要注意的是，由于X和Y是连续型随机变量，其密度函数可能在某些点为0，因此需要求出使f(x, z-x)≠0的区间。
举个例子，如果f(x,y)在x>0且y>0时取值不为0，则当z>0时，对应的fZ(z)可以通过以下计算得出：
fZ(z) = ∫0^z f(x, z-x)dx
这里的积分上限为z，因为X+Y的取值范围在0~z之间。
如果f(x,y)在x<0或y<0时取值为0，则需要分别指定X和Y的取值范围，积分的上下限也就固定了。