第1个回答 2014-02-13
高中时发现一个用计算器来解方程的方法,前一阵用到计算器就想起来了,习惯性地谷歌之、百度之,居然没有发现类似的方法,于是就想把它写下来。
说明下对计算器的要求,只要是个带有"Ans"键的计算器就行,一般我们用的都是这种计算器。对于要解的方程,无论是超越方程还是高次方程,基本上都一样。
先来初步尝试一下。如果要解的方程是:exp(x)=-x+3 (注:exp(x) 是表示e的x次方) ,你要按的键就像下面一样:
0 =
ln ( - Ans + 3 ) = = = = ⋯⋯
如你所知,Ans键有保存上一次计算结果的功能,所以第一条语句就是给Ans赋初值的意思,初值要选在解的附近,大概估计下就可以。第二条我没有打错,你在连续按了十几次 "=" 后,是不是发现再按的时候屏幕上的数值不变了?这就是方程的解。看起来好像很晕,还是解释解释这样做的原因:
看见上面的图了吗?小赵(高一数学老师)曾经给我们介绍过一种有趣的现象,一般情况下两函数图象在交点附近有这种类似螺旋的收敛特性。灵感正是来自这里。是不是有点眉目了?
假设上面的图中两个图象分别是 y=f(x) 和 y=g(x) ,而我们要解的方程是f(x)=g(x)。为了方便,这里把F(x)和G(x)分别记做f(x)和g(x)的反函数。于是这个方程可以等价变换为 x=F(g(x)) 和 x=G(f(x)) 。这两个式子的右半边就是我们要输入计算器然后不断按"="的,当然,输入计算器的时候所有的x都用Ans代替。再看看上面的图,其实这两个式子中,一个的代表顺时针螺旋,另一个代表逆时针螺旋;一个能使螺旋收敛于交点,另一个会使螺旋扩张。不幸滴是,我们不知道哪个式子能使螺旋扩张,哪个能使收敛,所以两个式子都得试试,在我们按了若干次 "=" 后如果屏幕上数值稳定了,就说明这是收敛式,并且这个稳定的值就是解。比如前面的例子,方程可以变成 x=ln(-x+3) 和 x=-exp(x)+
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希望对你有帮助