三角形中位线定理证明方法

Question

如题所述

Answer 1

三角形中位线定理证明方法如下：

三角形中位线定理是指：在任何一个三角形中，连接中点的三条线段互相平分，也即任何一条中位线所对应的两个小三角形的面积是相等的。证明过程如下：

首先，我们需要了解中心对称的定义和性质：若平面上将所有点关于某个中心点O进行对称得到的点仍然在该平面上，则称这种变换为以点O为中心的对称变换。由于对称变换是保持距离的同构映射，因此它还有一些非常有用的几何性质，例如像点和图形的位置都不变等等。

现在，我们假设有一个三角形ABC，其三条中位线为AD、BE和CF，点D、E、F分别为三边AB、BC和AC的中点，如下图所示。

现在，我们可以将三角形ABC分成两个小三角形ADB和BDC，其中，由中位线AD可知，点D是线段AB的中点，因此，线段AD与线段BD长度相等，且都与线段AB垂直；

同样地，由中位线BE可知，点E是线段BC的中点，因此，线段BE与线段CD长度相等，且都与线段BC垂直。因此，三角形ADB和BDC分别为以直角边AD、BD和BC、CD为边的直角三角形。

接下来，我们可以用以下两个步骤证明中位线定理：

（1）由上图可知，三角形ADB与三角形BDC都具有一个相同的直角，即∠CDE≌∠ADE，因此它们之间只有一个其他角是相等的，即∠ADB≌∠BDC。

（2）由步骤1中的相等角可知，∠ADB+∠BDC=180°，也就是说，三角形ADB和BDC是一组内部相互补角的三角形。

（3）根据三角形内部相互补角的性质（如下图所示），AB/DB=AC/DC，即AB×DC=AC× DB。也就是说，小三角形ADB和BDC具有相同的底边AD和BC，且高ED相等，因此它们的面积是相等的。