法律分析：第一种情况，试用期内被证明不符合录用条件的人员。有些人相中了单位，可是自己不符合用人单位的招聘条件，就办理了一些虚假材料，蒙混过关进入单位，这种情况一旦被发现，公司解除劳动关系，单位可以不用支付赔偿金。第二种情况，严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损失的人员。有些职工，工作不认真，玩忽职守，给单位造成重大损失，这类人员被开除，可以不用支付赔偿金。
法律依据：《中华人民共和国劳动法》
第二十五条 劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，对用人单位利益造成重大损害的；（四）被依法追究刑事责任的。
第二十九条 劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依据本法第二十六条、第二十七条的规定解除劳动合同：（一）患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的；（二）患病或者负伤，在规定的医疗期内的；（三）女职工在孕期、产期、哺乳期内的；（四）法律、行政法规规定的其他情形。