已知F(X)是定义在R上的函数满足F(X+Y)=F(X)+F(Y)+1,请问F(X)是偶函数为什么不一定成立

Question

如题所述

Answer 1

先令X=Y=0，则有：
F(0)=F(0)+F(0)+1
F(0)=-1,
令Y=-X,则有：
F(0)=F(X)+F(-X)+1
将F(0)=-1带入：
F(X)+F(-X)+2=0,
由此式得知：
当且仅当F(X)=F(-X)=-1时，F(X)才为偶函数。
如当F(X)=-1,该函数是偶函数。(由上式得知)
如当F(X)=3X-1,该函数满足要求，但不是偶函数。
附：F(X)=3X-1 怎么来的：
只要令F(X)!=-1(不等于-1)，
随便F(1)的值，不要等于-1，如F(1)=2,
令F(X+Y)=F(X)+F(Y)+1中X=Y=1,得F(2)=2+2+1=5，
由F(0)=-1,F(1)=2,F(2)=5可得：
F(X)=3X-1。
【其实只要F(X)=aX-1就满足F(X+Y)=F(X)+F(Y)+1。】

Answer 2

这只要举一个反例就行了
F(x)=x+1
则F(x+y)=x+y+1=F(x)+F(y)+1
但它即不是偶函数也不是奇函数。
所以F(X)是偶函数不一定成立。