求洛朗级数展开式

Question

如题所述

Answer 1

我只给你思路，你自己写。
把f(z)化成部分分式之和的形式，你自己动手，我把结果告诉你。
f(z)=1/5*[-z/(z²+1)+2/(z²+1)-1/(2-z)]
因为1<|z|<2，所以|z/2|<1，|1/z²|<1
前两项，提出一个1/z²，化成-z/z²*1/(1+1/z²)和2/z²*1/(1+1/z²)
1/(1+1/z²)就用公式1/(1-z)=1+z+z²+...展开，用-1/z²去换z即可。
第三项，提一个1/2，变成-1/2*1/(1-z/2)，同样套上面的公式，只不过这次是用z/2去换z。
三项都展开为幂级数之后，一般情况下你是没有办法合并成为一个幂级数的，所以一般来说写到这一步就完成了。当然你也可以把这个幂级数的前面几项写出来，后面打上省略号。