二阶微分方程求通解

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 y''+2y'+y=5e^(-x)的通解
解：齐次方程 y''+2y'+y=0的特征方程 r²+2r+1=(r+1)²=0的根r₁=r₂=-1；因此齐次方程的
通解为：y=[e^(-x)](c₁+c₂x);
因为原方程右边的5e^(-x)中的指数所含 -1正好是特征方程的重根，因此要设特解为：
y*=ax²e^(-x)..........①
y*'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=a(2x-x²)e^(-x)............②
y*''=a(2-2x)e^(-x)-a(2x-x²)e^(-x)=a(2-4x+x²)e^(-x)............③
将①②③代入原式得：a[(2-4x+x²)+2(2x-x²)+x²]e^(-x)=5e^(-x)
即有 2a=5，故a=5/2；∴特解 y*=(5/2)x²e^(-x)；
故原方程的通解为：y=[(c₁+c₂x+(5/2)x²]e^(-x);

Answer 2

微分方程的通解。

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Answer 3

y''+2y'+y=5e^-x
齐次特征方程
r^2+2r+1=0
r=-1
所以齐次通解是
y=(C1+C2x)e^(-x)
由于等号右边包含在通解中
所以设非齐次特解为
y=ax^2e^(-x)
y'=2axe^(-x)-ax^2e^(-x)
y''=2ae^(-x)-2axe^(-x)-2axe^(-x)+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)
代入原方程得
2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)+2[2axe^(-x)-ax^2e^(-x)]+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)=5e^-x
a=5/2
所以特解是y=5/2x^2e^(-x)
所以非齐次通解是
y=(C1+C2x)e^(-x)+5/2x^2e^(-x)

Answer 4