平面几何难题

Question

过P作圆O的截线PAB，过点P、A作圆O1切圆O于点A，过点P、B作圆O2切圆O于点B。过P作圆O的切线切圆O于点C,交圆O1,O2分别于点D、E。求证：C是D、E的中点。

Answer 1

解：连接O2OB、O2E、OO1、O1P、O2P、OC。

   ∵B为⊙O、O2的切点，A为⊙O、O1的切点

   ∴B、O、O2共线，O、A、O1共线

 ∵OB=OA，O1A=O1P，O2B=O2P

 ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1=∠5

 ∵∠2=∠3

 ∴∠1=∠4，∠2=∠5

 ∴BO2‖O1P，OO1‖O2P

 ∴即OO2PO1为平行四边形，OO2=O1P    -----------（1）

作O2F⊥PE，O2G⊥OC，O1H⊥PE，垂足分别为F、G、H，连接O1D。

 ∵OC⊥PE，O2F⊥PE，O1H⊥PE，

 ∴OC‖O2F‖O1H

  ∵O2G⊥OC，PE⊥OC

  ∴O2G‖PE

 ∴△OGO2∽△O1HP，O2GCF为矩形，O2G=FC   ----（2）

  ∵OO2=O1P    引用（1）

  ∴△OGO2≌△O1HP，O2G=PH  -----------（3）

 ∵O1P=O1D

 ∴△O1PD为等腰△，（同时O1H⊥PD）

 ∴△O1HD≌△O1HP，DH=PH   ------（4）

联立（2、3、4），得PH=HD=FC ---（5）

  ∵O2E=O2P

 ∴△O2EP为等腰△，（同时O2F⊥PE）

 ∴△O2EF≌△O2PF，EF=PF  

   EC+FC=FD+HD+PH

   EC=FD+HD+PH-FC=FD+FC+FC-FC=FD+FC=CD

   EC=CD，得证。

  请采纳楼上availma的答案，我的权当记录自己的练习了。

Answer 2

见下图：

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