AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵:
|AB O|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有:
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有:
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。
解线性方程组
记线性方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为B= (A,b),则:
()R(A)= R(B)= n,方程组有惟一解;
(i)R(A)= R(B) < n,方程组有无穷解;
(i)R(A) < R(B),方程组无解。